Colloquium | Institute of Mathematical Sciences
Time：16:00-17:00, Mar. 25, Monday
Location：Room 302, Library
Speaker: Jiangong You, Chern Institute of Mathematics
Abstract: Quasi-periodic Schrodinger operators have rich backgrounds in quantum physics. From the point view of mathematics, it has close relations with many mathematical fields such as dynamical systems, harmonic analysis and number theory. In this talk, I will give a brief introduction to this subject including concepts, problems and approaches. I will emphasize particularly how dynamical system methods are used to solve problems in the spectral theory of quasi-periodic operators.
准周期薛定谔算子是准晶和整数量子霍尔效应等物理问题的数学模型，其位势的复杂程度介于周期和随机之间。研究薛定谔算子最重要的是研究谱和谱测度，谱是能观测到的粒子能量，而谱测度则刻画了粒子是自由的还是束缚的，因此准周期薛定谔算子的谱集和谱测度等都有明确的物理意义。准周期薛定谔算子是国际数学物理领域的主流研究方向之一；几十年来，许多著名数学家（如Sinai，Moser，Spencer，Bourgain，Avila等）前赴后继地这个方向上做过深入研究。理由当然不完全是因为准周期薛定谔算子的物理意义，对数学家而言也许更重要的是里面有丰富的数学。薛定谔算子谱理论被发现和动力系统，调和分析，数论，随机分析，复分析等有密切的联系；它的研究很好的体现了数学的整体性并对数学理论的发展具有全局性的影响。
一维薛定谔算子的特征方程可以自然地定义出一族动力系统。近年来，人们发现动力系统方法在这类薛定谔算子谱理论的研究中非常有效，例如，2014年菲尔次奖得主Avila的主要工作之一是解决了算子谱理论中的Ten Martini Problem，这是动力系统理论和方法应用于数学物理的一个成功范例。准周期薛定谔算子谱理论的研究对象（包括谱集、谱测度、局域化）和相关动力系统的研究对象（包括非一致双曲性、可约性、Liapunov指数等）有着重要的关联。动力系统和谱理论研究的相互影响和促进已成为数学研究的一个主流而活跃的方向，许多重要的问题有待解决。
本讲座将对这个方向作一个简要介绍。