上海科技大学数学科学研究所 人工智能与模型降阶的数学基础暑期学校

日  程

暑期学校地点：上海科技大学数学科学研究所报告厅408

课程名称：科学机器学习：逼近与泛化

授课专家：明平兵（中国科学院数学与系统科学研究院）

课程内容：科学机器学习（Scientific Machine Learning，简称SciML）是微分方程建模和数值求解与机器学习特别是深度学习的有机结合。一方面利用微分方程建模方法可以弥补机器学习在可解释性、可重复性等方面的不足; 另一方面，机器学习可以克服微分方程本身参数缺失、观测数据不足等困难，机器学习方法还可以利用实验数据以及模拟数据进行可计算建模，从而构建更为精确的物理模型。目前该方向在偏微分方程数值求解特别是高维偏微分方程的数值求解等方向已经取得了很大成功，并逐渐成为计算数学特别是科学计算的新范式。本次讲座针对科学机器学习，较为系统地梳理相关的逼近理论，特别是介绍以Barron函数类作为目标函数的定量化逼近误差估计，以及相关的泛化误差估计。

主要内容：

1）科学计算与机器学习简介

2）神经网络逼近理论

3）泛化误差估计

课程名称：基于Onsager变分原理的模型约化方法

授课专家：许现民（中国科学院数学与系统科学研究院）

课程内容：Onsager变分原理是非平衡态统计物理中一个基本规律，由L. Onsager于上世纪三十年代发现。Onsager变分原理可用来推导很多复杂物理现象的数学模型，例如流体力学的Stokes方程，颗粒扩散中的Smoluchowskii方程，移动接触线的GNBC模型以及液晶中的Ericksen-Leslie方程等。最近研究发现，基于Onsager原理可发展一种高效的模型约化方法，对复杂物理现象进行可计算建模，得到容易数值或解析求解的简化模型，由此发展高效的数值算法或解析公式来刻画复杂现象的演化规律。这种方法被应用于两相流、软物质和材料科学的很多问题中。在本短课程中，我们将简要介绍Onsager变分原理的基本理论，以及将之作为模型约化方法的主要思想，并结合实际例子介绍这种方法的主要框架及其有效性。