开课单位:

数学科学研究所

课程代码:

GEMA

课程名称:

数学分析III

英文名称:

Mathematics   Analysis III

学分:

4

学时:

64

授课对象:

授课语言:

先修课程:

数学分析 I 和数学分析 II

此课程是针对数学专业的本科基础性课程，是《数学分析 I & II 》中重要概念的深化和延拓。教学目的是以逻辑推理为主线让选课者通过系统的学习与严格的训练，全面掌握经典分析的基本理论和方法，为相关的后续课程打下坚实的基础。

一、  实数理论 (12学时)

内容：实数的定义，实数的完备性，实轴的拓扑

掌握：本章用到的逻辑工具，实数的公理化构造及实数的代数和拓扑性质

二、连续性和收敛性 (15学时)

内容：连续函数，级数的收敛性，连续函数的多项式逼近，Fourier 级数的收敛性。

掌握:  一般集合上连续函数的定义及其等价条件，紧致集合上连续函数的性质，一致连续性，连续函数的扩张，函数序列的一致收敛性。

三、度量空间的连续函数 (16学时)

内容：欧氏空间和度量空间，度量空间的拓扑，度量空间上的连续函数

掌握：度量空间的拓扑，紧致空间上的连续函数，多变量函数

四、映射的微分(8 学时)

内容：线形映射，映射的微分，逆映射定理，隐映射定理和秩定理，条件极值。

掌握：欧氏空间之间映射的微分的定义，可微映射的性质包括隐映射定理及其推论。

五、Riemann 积分（7 学时）

内容：平面上的有面积集合，Riemann   积分，可积函数类，重积分换元公式

掌握：平面集合上Riemann 可积的定义，可积的判别，积分换元公式

六、期中和期末考试（6 学时）

教学方式：

以课堂教学为主，习题讨论课为辅。

课堂教学主要讲解基本概念、基础知识和基本方法，并将与工程技术、信息科学等学科密切相关的数学问题融入基础知识的讲解，使同学们更好地了解数学在其它学科中的应用、提高对数学学科的兴趣。习题课教学中还可引入讨论，使同学们能更好地融入教学，培养他们提出问题、分析问题和解决问题的能力。

通过单元测验和考试检察同学们对基本概念的理解、对基础知识和基本方法的掌握情况，以及综合应用所学知识、方法进行分析和解决问题的能力。